【国家一般職・平成24年度・No.15】(高卒区分の難問!)ひし形の面積から対角線の長さの和を求めよ【行政・高卒区分】

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【国家一般職・平成24年度・No.15】(高卒区分の難問!)ひし形の面積から対角線の長さの和を求めよ【行政・高卒区分】

平成24年度・国家一般職(高卒区分)No.15の問題です。
図形をからめた数的推理の問題ですが、頭を柔らかくして考えなければ泥沼にハマってしまいます。

ひし形の定義

ひし形の定義は『4辺の長さが同じ4角形』です。角度についての条件はありませんので正方形とは限りません。一例として上図のような形となり、対面する内角については必然的に同じ角度になります。

問題文の中で『周の長さが16cm』と書かれていますので、いま、1辺の長さは4cmだと分かります。

補助線として対角線を引く

補助線として対角線を引いた上で、それぞれの長さの半分をx、yと置くと、三平方の定理より上図右側の式が成立することが分かります。

対角線の長さと面積の関係

2つの式を合体させる

x、yに関する式が2つ求まりましたので、それぞれの値を求めることができそうですが、片方が2次式となっていますので大変そうです。

なんとか、もう少し簡単に求める方法はないでしょうか?

ここで2つの式を並べて、右辺同士・左辺同士で足し合わせてみると上図のような式が完成します。
さて、この式どこかで見たことは無いでしょうか?

式を変形して1次式にする

上図右上に示したように式を変形すると、『x+y』の2乗の式を作り出すことができました。
『25』は5の2乗ですので、両辺の平方根をとると…

2本の対角線の長さの和

上図のように『x+y=5』と求めることができました。
問題文で聞かれていたのは『2本の対角線の長さの和』ですので、2倍した値である『10』が答えとなります。(正解肢:3)

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